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試試在「平面國」搬運沙發
[2017-07-20]
沙發

試試在「平面國」搬運沙發

 

1884年英國出版了一本奇特的中篇小說《平面國》,作者艾波特(Edwin Abbott Abbott)的專業雖然不在數學,但是這本100頁左右的小書,能夠快速帶領讀者體會空間維度的概念。艾波特幫助我們擺脫習以為常的「高度」或「厚度」,學習適應一切都緊貼在平面的觀點。平面國裡的人民都是多邊形的模樣,邊數越多階級越高,最高等的教士階級,邊數就多到看起來像圓形。平面國裡的房子多是正五邊形,至於內部的隔間,以及什麼人該住哪一間,艾波特都用插圖描繪出來。
艾波特撰寫這麼古怪而不合常情的世界,想表達的其實是諷刺英國維多利亞時代的階級制度。然而,從平面國的幾何條件著眼,就會察覺一些連艾波特自己也沒留意的問題。例如這個問題就頗有趣味:假設在平面國裡有一條寬度為1的走廊,先沿水平方向往右延伸,之後直角向下轉。現在準備搬運一座沙發通過走廊,也就是說在保持形狀的條件下,把代表沙發的封閉曲線從左上端經由平移與轉動繞過轉角到達右下端。那麼能夠如此搬運過去且面積最大的沙發,會是什麼樣子?
1966年加拿大數學家穆瑟(Leo Moser)率先提出上述問題。最容易想到能夠搬運過轉角,當然就是邊長為1的正方形,只要向右平移進轉角,再向下平移出轉角。但如果用半徑為1的半圓形,讓半圓的直徑邊貼緊走廊下緣向右移動,當完全進入轉角時,就可以讓旋轉90度繼續前進。半圓的面積為π/2(約略1.57),顯然大於正方形沙發